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Dérivation et exponentielle II

Première — Cahier 3

Calculatrice interdite — tous les calculs sont à effectuer à la main

Vérifier chaque réponse

Quelques automatismes

Calcul 10.1 — Donner l'ensemble des solutions des inéquations suivantes, sous la forme d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles.

Calcul 10.2 — Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation suivante (ensemble des solutions).

Calcul 10.3 — Calcul numérique.

Calculs de dérivées

Calcul 10.4 — Des dérivées. Dériver les fonctions suivantes et, lorsque cela est possible, donner la réponse sous forme factorisée (pour un quotient, numérateur factorisé).

Dérivée de la fonction \(x\mapsto e^{u(x)}\)

Dérivée de \(e^{u}\). Si \(u\) est une fonction dérivable sur un intervalle \(I\), alors la fonction \(x\mapsto e^{u(x)}\) est dérivable sur \(I\) et, pour tout \(x\in I\), \[\left(e^{u(x)}\right)'=u'(x)\,e^{u(x)}.\]

Calcul 10.5 — Dérivées de fonctions \(x\mapsto e^{u(x)}\). Sauf indication contraire, les fonctions sont définies sur \(\mathbb{R}\). Dériver les fonctions suivantes et donner la réponse sous forme factorisée (pour un quotient, numérateur factorisé).

Applications à l'étude d'une fonction

Calcul 10.6 — Équations de tangentes. On attend des équations de la forme \(y=mx+p\).

Calcul 10.7 — Étude des variations d'une fonction. Après avoir étudié le signe de \(f'(x)\), choisir la seule proposition vraie.

Calculs plus avancés

Calcul 10.8 — Un calcul de somme. \(x\) désigne un réel strictement positif et \(n\) un entier naturel non nul.

Calcul 10.9 — Extremum sur un intervalle fermé borné. Sur l'intervalle indiqué, \(f\) admet un extremum en un unique point intérieur : en donner la valeur.

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