Fiche 19 — Fonctions trigonométriques II (Première)

Quelques automatismes

Calcul 19.1 — Équations avec des carrés. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes, en donnant l'ensemble de leurs solutions.

Calcul 19.2 — Équations avec des valeurs absolues. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes, en donnant l'ensemble de leurs solutions.

Calcul 19.3 — Inéquations avec des carrés ou des valeurs absolues. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes. On exprimera l'ensemble des solutions sous la forme d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles.

Formules admises. On donne les formules suivantes, appelées formules d'addition. Pour tous \(a,b\in\mathbb{R}\), on a \[\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)\] \[\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a).\]

Calcul 19.4 — Développement. Développer chaque expression sous la forme \(A\cos(bx)+B\sin(bx)\), où \(A\), \(B\) et \(b\) sont des réels.

Calcul 19.5 — Formules de duplication. Donner la valeur demandée sous forme simplifiée.

Calcul 19.6 — Équations trigonométriques. Résoudre dans l'intervalle \(]-\pi\,;\pi]\) les équations suivantes (ensemble des solutions), sous la forme de fractions de \(\pi\) irréductibles.

Dans chaque cas, \(t_1\) et \(t_2\) sont deux réels vérifiant l'encadrement indiqué. Quelle est l'affirmation juste ?

Calculs plus avancés

Calcul 19.9 — Formule d'addition de la tangente. Les valeurs demandées sont à donner sous forme simplifiée.

Soient \(a,b\in\mathbb{R}\) tels que \(\tan(a)\), \(\tan(b)\) et \(\tan(a+b)\) sont bien définis.

Calcul 19.10 — Équations de la forme \(a\cos(x)+b\sin(x)=c\). Résoudre dans l'intervalle \(]-\pi\,;\pi]\) les équations suivantes (ensemble des solutions), sous la forme de fractions de \(\pi\) irréductibles.