Fiche 16 — Généralités sur les vecteurs (Première)

Quelques automatismes

Calcul 16.1 — Donner l'ensemble des solutions des inéquations suivantes, sous la forme d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles.

Calcul 16.2 — Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes (ensemble des solutions).

Calcul 16.3 — Calcul numérique. Donner les résultats sous forme simplifiée.

Calcul 16.5 — Vecteurs sur un quadrillage. Exprimer chacun des vecteurs suivants en fonction des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\).

Calcul 16.6 — Une somme de vecteurs. À l'aide des points placés dans le quadrillage ci-dessous, donner dans chacun des cas un exemple de vecteur égal à la somme proposée.

Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points non alignés et \(\vec{v}\) un vecteur non nul. Dans chacun des cas suivants, déterminer l'ensemble des valeurs du réel \(\alpha\) pour lesquelles \(\vec{u}=\vec{0}\).

Calcul 16.10 — Relation de Chasles. \(A\), \(B\) et \(C\) désignent trois points du plan. Écrire \(\vec{u}\) sous la forme \(a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}\).

Calcul 16.11 — Relation de Chasles avec un paramètre. \(A\), \(B\) et \(C\) désignent trois points du plan et \(\alpha\) un réel différent de \(1\). Écrire \(\vec{u}\) sous la forme \(k\overrightarrow{AB}\), où \(k\) dépend de \(\alpha\).

Déterminer à quel vecteur, parmi \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CD}\) et \(\overrightarrow{EF}\), chacune des sommes suivantes est colinéaire.

Soit \(ABC\) un triangle. On considère le point \(G\) tel que \(\overrightarrow{GA}-2\overrightarrow{BG}+3\overrightarrow{GC}+2\overrightarrow{BC}=\vec{0}\).

Soient \(ABC\) un triangle et les points \(M\), \(N\) et \(P\) tels que \(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{BA}\), \(\overrightarrow{NC}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\). Exprimer le vecteur \(\overrightarrow{PN}\) en fonction du vecteur \(\overrightarrow{PM}\).

Calculs plus avancés

Calcul 16.15 — Colinéarité avec un paramètre.

Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points non alignés. Exprimer le vecteur \(\vec{u}\) en fonction du vecteur \(\vec{v}\) et du réel \(\alpha\).

Calcul 16.16 — Propriété du milieu.

Soit \(ABC\) un triangle. On note \(I\) le milieu de \([AB]\), et \(M\), \(N\) deux points quelconques du plan.

On rappelle la propriété du milieu : le point \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}\).

Calcul 16.17 — Point particulier d'un triangle (suite).

On considère un triangle \(ABC\), on note \(G\) le point du plan qui vérifie \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}\), et \(A'\), \(B'\), \(C'\) les milieux respectifs des segments \([BC]\), \([CA]\) et \([AB]\).