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Première — Cahier 9
Quelques automatismes
Calcul 23.1 — Donner l'ensemble des solutions des inéquations suivantes, sous la forme d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles.
Calcul 23.2 — Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes (ensemble des solutions).
Calcul 23.3 — Calcul numérique. Donner les résultats sous forme d'entier ou de fraction irréductible.
Sommes et écritures littérales
Calcul 23.4 — Sommes littérales.
On considère deux réels \(a\) et \(b\). Calculer :
Calcul 23.5 — Soit \(b\) un réel et \(n\) un entier naturel non nul. Calculer en fonction de \(b\) et \(n\) :
Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique
Calcul 23.6 — Suite arithmétique de raison entière.
On considère une suite \(\left(u_n\right)\) arithmétique de premier terme \(u_0=1\) et de raison \(r=2\). Calculer :
Calcul 23.7 — Suite arithmétique de raison fractionnaire.
On considère une suite \(\left(u_n\right)\) arithmétique de premier terme \(u_0=-2\) et de raison \(r=\dfrac{3}{2}\). Calculer :
Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique
Calcul 23.8 — Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique.
On considère une suite \(\left(u_n\right)\) géométrique de raison \(q\ne 1\). On note \(S=\displaystyle\sum_{k=5}^{10}u_k\).
Calcul 23.9 — Des sommes de termes d'une suite géométrique.
On considère une suite \(\left(u_n\right)\) géométrique de premier terme \(u_0\) et de raison \(q\). Dans chacun des cas suivants, exprimer \(S\) en fonction de \(n\).
Calcul 23.10 — Des calculs de sommes. Calculer les sommes suivantes en fonction de \(n\).
Cas des suites arithmético-géométriques
Calcul 23.11 — Une suite arithmético-géométrique.
On considère \(\left(u_n\right)\) la suite définie par \(u_0=-1\) et la relation de récurrence \(u_{n+1}=2u_n-4\), pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Calculs plus avancés
Calcul 23.12 — Terme général d'une suite à partir de la somme de ses termes.
Soit \(\left(u_n\right)\) une suite vérifiant, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(S(n)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k=3n(n+2)\).
Calcul 23.13 — Une somme de termes de la forme \(kx^k\).
Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Pour \(x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\), on pose \(S(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}kx^k\).
Calcul 23.14 — Une série alternée.
On considère la suite \(\left(u_n\right)\) définie pour \(n\geqslant 1\) par \(u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(-1)^k}{k}\), et les deux suites \(\left(v_n\right)\) et \(\left(w_n\right)\) définies par \(v_n=u_{2n}\) et \(w_n=u_{2n+1}\).
Devoir